Question

13．求矩阵$[\begin{array}{l}{3}&{1}\\{1}&{3}\end{array}]$的特征值及对应的特征向量．

Answer 1

分析 先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．

解答 解：特征多项式f（λ）═$|\begin{array}{l}{λ-3}&{-1}\\{-1}&{λ-3}\end{array}|$=（λ-3）²-1=λ²-6λ+8（3分）
由f（λ）=0，解得λ₁=2，λ₂=4（6分）
将λ₁=2代入特征方程组，得$\left\{\begin{array}{l}-x-y=0\\-x-y=0\end{array}$
⇒x+y=0，可取$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$为属于特征值λ₁=2的一个特征向量（8分）
同理，当λ₂=4时，由$\left\{\begin{array}{l}x-y=0\\-x+y=0\end{array}$⇒x-y=0，
所以可取$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$为属于特征值λ₂=4的一个特征向量．
综上所述，矩阵$[\begin{array}{l}{3}&{1}\\{1}&{3}\end{array}]$有两个特征值λ₁=2，λ₂=4；
属于λ₁=2的一个特征向量为$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$，属于λ₁=4的一个特征向量为$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$．（10分）

点评 本题主要考查来了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于矩阵中的基础题．