Question

5．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=BC=2，AC⊥BC，点S是侧棱AA₁延长线上一点，EF是平面SBC与平面A₁B₁C₁的交线．
（1）求证：EF⊥AC₁；
（2）求四棱锥A₁-BCC₁B₁的体积．

Answer 1

分析 （1）由面面垂直的性质得出BC⊥平面AA₁C₁C，根据BC∥平面A₁B₁C₁得出BC∥EF，故而EF⊥平面AA₁C₁C，从而得出EF⊥AC₁；
（2）取CC₁中点O，连接A₁O，则可证A₁O⊥平面BB₁C₁C，底面BB₁C₁C是正方形，从而得出棱锥的体积．

解答 证明：（1）∵侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，侧面AA₁C₁C∩底面ABC=AC，AC⊥BC，BC?平面ABC，
∴BC⊥平面AA₁C₁C，
∵BC∥B₁C₁，BC?平面A₁B₁C₁，B₁C₁?平面A₁B₁C₁，
∴BC∥平面A₁B₁C₁，
又BC?平面SBC，平面SBC∩平面A₁B₁C₁=EF，
∴BC∥EF，
∴EF⊥平面AA₁C₁C，又AC₁?平面AA₁C₁C，
∴EF⊥AC₁．
（2）由（1）得BC⊥平面AA₁C₁C，∵CC₁?平面AA₁C₁C，
∴BC⊥CC₁，又CC₁=AA₁=BC，BB₁$\stackrel{∥}{=}$AA₁，
∴四边形BB₁C₁C是正方形．
取CC₁中点O，连接A₁O，
∵A₁C₁=AC=A₁C=CC₁=2，∴△A₁CC₁是等边三角形，A₁O=$\sqrt{3}$．
∴A₁O⊥C₁C，又A₁O⊥BC，BC∩CC₁=C，
∴A₁O⊥平面BB₁C₁C．
∴V${\;}_{{A}_{1}-BC{C}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{正方形BC{C}_{1}{B}_{1}}•{A}_{1}O$=$\frac{1}{3}×{2}^{2}×\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与线面平行的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．