Question

8．已知函数f（x）=xe^x-alnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）证明：b≤e时，f（x）≥b（x²-2x+2）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得f（x）的导数，由题意可得f′（1）=0，解方程可得a，由导数的单调性，结合f′（1）=0，可得f（x）的单调区间；
（Ⅱ）讨论①当b≤0时，求得f（x）的最小值，可得结论成立；②当0＜b≤e时，设g（x）=xe^x-2elnx-b（x²-2x+2），求出导数，构造函数h（x）=（x+1）e^x-$\frac{2e}{x}$-2b（x-1），x＞0，求得导数，判断单调性，可得g（x）最小值，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=xe^x-alnx的导数为f′（x）=（x+1）e^x-$\frac{a}{x}$，x＞0，
依题意得f′（1）=0，即2e-a=0，解得a=2e．
所以f′（x）=（x+1）e^x-$\frac{2e}{x}$，显然f′（x）在（0，+∞）单调递增且f′（1）=0，
故当x∈（0，1）时，f′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．
所以f（x）的递减区间为（0，1），递增区间为（1，+∞）．
（Ⅱ）证明：①当b≤0时，由（Ⅰ）知，当x=1时，f（x）取得最小值为e．
又b（x²-2x+2）的最大值为b，故f（x）≥b（x²-2x+2）；
②当0＜b≤e时，设g（x）=xe^x-2elnx-b（x²-2x+2），
所以g′（x）=（x+1）e^x-$\frac{2e}{x}$-2b（x-1），
令h（x）=（x+1）e^x-$\frac{2e}{x}$-2b（x-1），x＞0，
则h′（x）=（x+2）e^x+$\frac{2e}{{x}^{2}}$-2b，
当x∈（0，1）时，$\frac{2e}{{x}^{2}}$-2b≥0，（x+2）e^x＞0，所以h′（x）＞0；
当x∈（1，+∞）时，（x+2）e^x-2b＞0，$\frac{2e}{{x}^{2}}$＞0，所以h′（x）＞0．
所以当x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0．，故h（x）在（0，+∞）上单调递增，
又h（1）=0，所以当x∈（0，1）时，g′（x）＜0；
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0．
所以g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以当x=1时，g（x）取得最小值g（1）=e-b≥0，
所以g（x）≥0，即f（x）≥b（x²-2x+2）．
综上，当b≤e时，f（x）≥b（x²-2x+2）．

点评 本题主要考查函数的单调性、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，属于中档题．