Question

2．（1）用数学归纳法证明：1²+2²+3²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$，n是正整数；
（2）用数学归纳法证明不等式：1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$＜2$\sqrt{n}$（n∈N^*）

Answer 1

分析 根据数学归纳法的证明步骤先验证n=1时结论成立，再假设n=k时，结论成立，推导n=k+1时结论成立即可．

解答 证明：（1）①n=1时，左边=1²=1，右边=$\frac{1×2×3}{6}$=1，等式成立，
②假设n=k时，等式成立，即1²+2²+3²+…+k²=$\frac{k（k+1）（2k+1）}{6}$，
则n=k+1时，1²+2²+3²+…+k²+（k+1）²=$\frac{k（k+1）（2k+1）}{6}$+（k+1）²
=$\frac{k+1}{6}$[2k²+k+6（k+1）]
=$\frac{k+1}{6}$（2k²+7k+6）
=$\frac{（k+1）（k+2）（2k+3）}{6}$=$\frac{（k+1）（k+1+1）（2（k+1）+1）}{6}$．
∴当n=k+1时，等式成立，
由①②得：1²+2²+3²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$．
（2）①n=1时，显然不等式成立，
②假设n=k时，不等式成立，即1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{k}}$＜2$\sqrt{k}$．
则当n=k+1时，1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{k}}$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$＜2$\sqrt{k}$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$=$\frac{2\sqrt{k（k+1）}+1}{\sqrt{k+1}}$＜$\frac{k+k+1+1}{\sqrt{k+1}}$=2$\sqrt{k+1}$．
∴当n=k+1时，不等式成立．
由①②得1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$＜2$\sqrt{n}$．

点评 本题考查了数学归纳法证明，注意n=k+1的证明时，必须用上假设条件．属于中档题．