Question

椭圆(a＞b＞0)与直线x+y-1=0相交于两点P、Q，且

（O为原点）.

（1）求证：等于定值；

（2）若椭圆离心率e∈［,］时，求椭圆长轴长的取值范围.

Answer 1

解析：（1）由

消去y,得（a ²+b ²）x ²-2a ²x+a ²(1-b ²)=0,?

由Δ=4a ⁴-4(a ²+b ²)a ²(1-b ²)＞0,得a ²+b ²＞1,?

设P（x ₁ ,y ₁）,Q(x ₂ ,y ₂),则x ₁+x ₂=,?

x₁x ₂=,?

∵

 ∴x₁x ₂+y ₁y ₂=0,?

∴x ₁x ₂+(1-x ₁)(1-x ₂)=0,?

∴2x ₁x ₂-(x ₁+x₂)+1=0,?

∴，?

∴a²+b²=2a ²b ²,?

∴(为定值).?

（2）∴e=.?

∴b ²=a ²-c ²=a ²-a ²e ².?

∵a ²+b ²=2a ²b ²,2-e ²=2a ²(1-e ²).?

∴.?

∴,∵,?

∴,?

∴长轴长取值范围为［，］.