题目内容
椭圆
(a＞b＞0)与直线x+y-1=0相交于两点P、Q，且
（O为原点）.
（1）求证：
等于定值；
（2）若椭圆离心率e∈［
,
］时，求椭圆长轴长的取值范围.
解析：（1）由
消去y,得（a 2+b 2）x 2-2a 2x+a 2(1-b 2)=0,?
由Δ=4a 4-4(a 2+b 2)a 2(1-b 2)＞0,得a 2+b 2＞1,?
设P（x 1 ,y 1）,Q(x 2 ,y 2),则x 1+x 2=,?
x1x 2=,?
∵
∴x1x 2+y 1y 2=0,?
∴x 1x 2+(1-x 1)(1-x 2)=0,?
∴2x 1x 2-(x 1+x2)+1=0,?
∴，?
∴a2+b2=2a 2b 2,?
∴
(为定值).?
（2）∴e=
.?
∴b 2=a 2-c 2=a 2-a 2e 2.?
∵a 2+b 2=2a 2b 2,2-e 2=2a 2(1-e 2).?
∴
.?
∴
,∵
,?
∴
,?
∴长轴长取值范围为［
，
］.
练习册系列答案
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(a＞b＞0)与过点A(2，0)、B(0，1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
|AF1|·|AF2|．
已知椭圆 (a>b>0)与直线
(a＞b＞0)与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，原点O到直线AB的距离为
，该椭圆的离心率为
的直线l与椭圆交于M，N两个不同点，且对l外任意一点Q，有
成立？若存在，求出l的方程；若不存在， 说明理由。
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,
|AF1||AF2|.