Question

如图,椭圆(a＞b＞0)与过点A(2,0),B(0,1)的直线有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率e=,

(1)求椭圆的方程;

(2)设F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点,求证:|AT|²=|AF₁||AF₂|.

Answer 1

(1)解:过A、B的直线方程为+y=1,?

因为由题意得有唯一解,?

即(b²+a²)x²-a²x+a²-a²b²=0有唯一解,?

所以Δ=a²b²(a²+4b²-4)=0(ab≠0).?

故a²+4b²-4=0.?

又因为c=,?

即,?

所以a²=4b².从而得a²=2,b²=,故所求的椭圆方程为+2y²=1.

(2)证明:由(1)得c=,所以F₁(,0),F₂(,0),?

由

解得x₁=x₂=1,?

因此T(1,).?

从而|AT|²=,?

因为|AF₁|·|AF₂|=,?

所以|AT| ²=|AF₁|·|AF₂|.