Question

. 19(本小题满分14分)

       已知椭圆 (a>b>0)与直线

       x+y－1 = 0相交于A、B两点，且OA⊥OB

       (O为坐标原点)．

(I)   求 + 的值；

(II)  若椭圆长轴长的取值范围是［,］，

       求椭圆离心率e的取值范围．

Answer 1

(Ⅰ)  2 (Ⅱ) ［ ，］

解析:

(I) 将x+y－1=0代入椭圆方程整理得：(a²+b²)x²－2a²x+a²(1－b²)=0．（*）     

设A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂)，则x₁+x₂=，x₁x₂=, 

而y₁y₂=(1－x₁)(1－x₂) = ． 

又∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0．∴+=0．

∴a²+b² = 2a²b²∴ + =2        ①  

经验证，此时方程(*)有解，∴+ =2．  8分

(2)将b² = a²－c²，e = 代入①得：2－e² = 2a²(1－e²)．  

∴e² = =1－，而2a∈[，]，    

∴≤ e ² ≤ ．而0 < e < 1，∴≤ e ≤ ．     

故e的取值范围为［ ，］．     14分