Question

【题目】数列{an}满足a1= ，an+1﹣an+anan+1=0（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求证：a1+a1a2+a1a2a3+…+a1a2…an＜1．

Answer 1

【答案】解（Ⅰ）：由已知可得数列{an}各项非零． 否则，若有ak=0结合ak﹣ak﹣1+akak﹣1=0ak﹣1=0，
继而ak﹣1=0ak﹣2=0…a1=0，与已知矛盾．
所以由an+1﹣an+anan+1=0可得 ．
即数列 是公差为1的等差数列．
所以 ．
所以数列{an}的通项公式是 （n∈N*）．
（Ⅱ） 证明一：因为 ．
所以a1+a1a2+a1a2a3+…+a1a2…an = ．
所以a1+a1a2+a1a2a3+…+a1a2…an＜1．
证明二：a1+a1a2+a1a2a3+…+a1a2…an= = = ．
所以a1+a1a2+a1a2a3+…+a1a2…an＜1
【解析】（Ⅱ）由an+1﹣an+anan+1=0，两边同除以anan+1 ， 得 ，从而可知数列是首项为2，公差为1的等差数列，进而可求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）方法一，放缩后，利用等比数列的求和公式， 方法二：放缩法后，利用裂项求和
【考点精析】通过灵活运用数列的通项公式，掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式即可以解答此题．