Question

【题目】已知椭圆C： （a＞b＞0 ） 经过点 P（1， ），离心率 e=
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）设过点E（0，﹣2 ） 的直线l 与C相交于P，Q两点，求△OPQ 面积的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由点 在椭圆上得， ①
又e= = ②，c2=a2﹣b2③
由①②③得c2=3，a2=4，b2=1，
故椭圆C的标准方程为 ．
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在，不合题意，可设直线l：y=kx﹣2，P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），
将y=kx﹣2代入椭圆方程x2+4y2=4，可得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，
由△=162k2﹣48（1+4k2）＞0，解得k＞ 或k＜﹣ ．
x1+x2= ，x1x2= ，
|PQ|= |x1﹣x2|= =4 ，
又O到直线PQ的距离d= ，
则S△OPQ= d|PQ|=4 ，
设t= ，（t＞0），则4k2=3+t2 ，
即有S△OPQ= =
由t+ ≥2 =4，
当且仅当t=2，即k=± 时等号成立，足判别式大于0．
则S△OPQ≤1．
故△OPQ 面积的最大值为1
【解析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，以及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）当直线l的斜率不存在，不合题意，可设直线l：y=kx﹣2，P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），联立椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用判别式大于0和韦达定理，以及弦长公式，点到直线的距离公式，由三角形的面积公式，运用换元法和基本不等式即可得到所求最大值．