Question

若xe^x≥mx-e对?x∈R恒成立，则m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：导数的综合应用

分析：对x分类讨论，再利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答： 解：∵xe^x≥mx-e，
当x=0时，对于m取任何值，0＞-e恒成立，
当x＞0时，m≤ex+

e

x

恒成立，
设f（x）=ex+

e

x

，
则f′（x）=e^x-

e

x2

，
令f′（x）=0，解得x=1，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
故当x=1时，f（x）有最小值，最小值为f（1）=2e，
∴m≤2e，
当x＜0时，m≥ex+

e

x

恒成立，
设g（x）=ex+

e

x

，
则g′（x）=e^x-

e

x2

＜0，
∴g（x）在（-∞，0）单调递减，
当x趋向于-∞时，g（x）趋向于0，
故g（x）越来越与x轴靠近，
∴m≥0，
综上所述，m的取值范围是[0，2e]
故答案为[0，2e]

点评：本题考查了利用导研究函数的单调性极值与最值、分类讨论、恒成立问题的等价转化等基础知识与基本技能方法，属于难题．