题目内容
已知△ABC中∠BAC=60°，AC=1，AB=2，设点P、Q满足
=λ
，
=(1-λ)
，λ∈R，若
•
=-
，则λ=______．
| AP |
| AB |
| AQ |
| AC |
| BQ |
| CP |
| 5 |
| 4 |
在△ABC中∠BAC=60°，
故∠B=180°-（60°+∠C）=120°-∠C，
由正弦定理可得
=
，即sinC=2sinB，
故sinC=2sin（120°-C）=2（
cosC+
sinC）
=
cosC+sinC，解得cosC=0，故C=90°
∴
•
=2×1×
=1，
而
•
=（
-
）•（
-
）
=[(1-λ)
-
]•[λ
-
]
=（λ-1）
2-λ
2+[（1-λ）λ+1]
•
=（λ-1）-4λ+λ-λ2+1=-
，
整理可得4λ2+8λ-5=0，即（2λ+5）（2λ-1）=0，
解得λ=
或-
，
故答案为：
或-
故∠B=180°-（60°+∠C）=120°-∠C，
由正弦定理可得
| 1 |
| sinB |
| 2 |
| sinC |
故sinC=2sin（120°-C）=2（
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=
| 3 |
∴
| AB |
| AC |
| 1 |
| 2 |
而
| BQ |
| CP |
| AQ |
| AB |
| AP |
| AC |
=[(1-λ)
| AC |
| AB |
| AB |
| AC |
=（λ-1）
| AC |
| AB |
| AB |
| AC |
=（λ-1）-4λ+λ-λ2+1=-
| 5 |
| 4 |
整理可得4λ2+8λ-5=0，即（2λ+5）（2λ-1）=0，
解得λ=
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
故答案为：
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
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