Question

已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，且AD=1，BD=2，△ACD绕CD旋转至A′CD，使A′B=

3

．
（1）求证：BA′⊥面A′CD；
（2）求异面直线A′C与BD所成角的余弦值．
（3）（理科做）求二面角A′-CD-B的大小．

Answer 1

分析：（1）要证BA^′⊥面A^′CD． 只需证明A^′D⊥A^′B，CD⊥A^′B，由题意可证，故可得结论；
（2）利用平行线，可得∠CA′E为所求角，利用余弦定理可求；
（3）利用A^′D⊥CD，且BD⊥CD，可知∠A′DB是所求二面角的平面角，从而可求．

解答：证明：

(1)由题可知：CD⊥BD，CD⊥A′D，

且BD∩AD=D，
∴CD⊥面A^′BD，CD⊥A^′B，
又∵A^′D²+A^′B²=BD²，∴A^′D⊥A^′B，且CD∩A^′D=D，
∴BA^′⊥面A^′CD．
(2)过点A′作A′E∥BD，且A′E=BD，连接DE，则∠CA′E为所求角，CE=

5

，A′E=2，∴COS∠CA′E=

4+3-5

2×2× 3

=

3

6

，
（3）∵A^′D⊥CD，且BD⊥CD，
∴∠A′DB是所求二面角的平面角，
由题易知∠A^′DB=60°
∴二面角A′-CD-B的大小为60°．

点评：本题以三棱锥为载体，考查线面垂直，考查线线角，线面角，关键是作出相应的角．