题目内容
【题目】若数列
、
满足
(
N*)，则称为数列的“偏差数列”.
（1）若为常数列，且为的“偏差数列”，试判断是否一定为等差数列，并说明理由；
（2）若无穷数列是各项均为正整数的等比数列，且
，为数列的“偏差数列”，求
的值；
（3）设
，为数列的“偏差数列”，
，
且
，若
对任意
恒成立，求实数M的最小值.
【答案】（1）见解析；（2）
或
；（3）
【解析】
（1）{an}不一定为等差数列，如
；
（2）设数列{an}的公比为q，解方程可得首项和公比，由等比数列的通项公式和求和公式，计算可得所求值；
（3）由累加法可得数列{an}的通项公式，讨论n为奇数或偶数，求得极限，由不等式恒成立思想可得M的最小值．
解：(1) 如
，则
为常数列，但
不是等差数列，
(2) 设数列的公比为
，则由题意，
、均为正整数，
因为
，所以
，
解得
或
，
故
或
(
N*)，
①当时，
，
，
，
② 当时，
，
，
综上，
的值为或；
(3) 由
≤
且≤
得，
=
故有：
，
，
，
累加得：
=
=
，
又
，所以
当n为奇数时，单调递增，
，
，
当n为偶数时，单调递减，
，
，
从而
≤，所以M≥，即M的最小值为．
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