△ABC中.AB边上的中线CD等于2.动点P满足$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{2}$t•$\overrightarrow{AB}$+(1-t)•$\overrightarrow{AC}$.则($\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$)•$\overrightarrow{PC}$� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

8．△ABC中，AB边上的中线CD等于2，动点P满足$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{2}$t•$\overrightarrow{AB}$+（1-t）•$\overrightarrow{AC}$（0≤t≤1），则（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PC}$的取值范围为[-2，0]．

分析由向量式变形可推得点P在CD上，由数量积的定义结合基本不等式可得答案．

解答解：由题意可得：$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{AD}$，
∴$\overrightarrow{AP}$=t•$\overrightarrow{AD}$+（1-t）•$\overrightarrow{AC}$（0≤t≤1），t+1-t=1，
∴P，D，C三点共线，即点P在CD上，
而$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$=2$\overrightarrow{PD}$，
∴（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{PC}$=2|$\overrightarrow{PD}$||$\overrightarrow{PC}$|cosπ=-2|$\overrightarrow{PD}$||$\overrightarrow{PC}$|，
∵|$\overrightarrow{PD}$|+|$\overrightarrow{PC}$|=|$\overrightarrow{CD}$|=2，
∴|$\overrightarrow{PD}$|+|$\overrightarrow{PC}$|≤（$\frac{|\overrightarrow{PD}|+|\overrightarrow{PC}|}{2}$）²=1，
∴-2|$\overrightarrow{PD}$||$\overrightarrow{PC}$|≥-2，
故答案为：[-2，0]．

点评本题考查向量的数量积的运算和基本不等式的应用，由题意得出P、D、C三点共线是解决问题的关键，属中档题．

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