Question

1．在△ABC中，内角A，B．C的对边分别为a，b，c，且$\sqrt{3}$acos（2π-C）-（2b-$\sqrt{3}$c）sin（$\frac{π}{2}+A$）=0．
（1）求角A的大小；
（2）若（$\sqrt{3}-1$）bc=25-a²，试求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知式子和正弦定理以及三角函数公式可得cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得A=$\frac{π}{6}$；
（2）由余弦定理和已知式子以及基本不等式可得bc的范围，再由面积公式和不等式的性质可得．

解答 解：（1）∵$\sqrt{3}$acos（2π-C）-（2b-$\sqrt{3}$c）sin（$\frac{π}{2}+A$）=0，
∴$\sqrt{3}$acosC-（2b-$\sqrt{3}$c）cosA=0，由正弦定理可得
$\sqrt{3}$sinAcosC-（2sinB-$\sqrt{3}$sinC）cosA=0
∴$\sqrt{3}$sinAcosC+$\sqrt{3}$sinCcosA=2sinBcosA，
∴$\sqrt{3}$sin（A+C）=2sinBcosA，
∴$\sqrt{3}$sinB=2sinBcosA，
∴cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{6}$；
（2）∵（$\sqrt{3}-1$）bc=25-a²，∴a²=25-（$\sqrt{3}-1$）bc，
由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-$\sqrt{3}$bc
∴25-（$\sqrt{3}-1$）bc=b²+c²-$\sqrt{3}$bc
∴25=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，
∴△ABC面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{4}$bc≤$\frac{25}{4}$，
当且仅当b=c=5时取等号，
∴△ABC面积的最大值为$\frac{25}{4}$

点评 本题考查解三角形，涉及三角函数公式和正余弦定理以及基本不等式求最值，属中档题．