题目内容

求函数f(x)=5
3
cos2x+
3
sin2x-4sinxcosx(
π
4
≤x≤
7π
24
）的最小值，并求其单调区间．
分析：利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为3
3
-4sin(2x-
π
3
)，由x的范围可得 sin(2x-
π
3
)∈[
1
2
，
2
2
]，由此求得函数f（x）取最小值为3
3
-2
2
．再由y=sin(2x-
π
3
)在[
π
4
，
7π
24
]上递增，可得函数f（x）的减区间．
解答：解：f(x)=5
3
•
1+cos2x
2
+
3
•
1-cos2x
2
-2sin2x=3
3
-2sin2x+2
3
cos2x
=3
3
-4sin(2x-
π
3
)．…（4分）
∵
π
4
≤x≤
7π
24
，∴
π
6
≤2x-
π
3
≤
π
4
，∴sin(2x-
π
3
)∈[
1
2
，
2
2
]．…（6分）
当2x-
π
3
=
π
4
时，即 x=
7π
24
时，函数f（x）取最小值为3
3
-2
2
．…（8分）
∵y=sin(2x-
π
3
)在[
π
4
，
7π
24
]上递增，…（10分）
∴f(x)在[
π
4
，
7π
24
]上是减函数，故函数f（x）的减区间为[
π
4
，
7π
24
]． …（12分）
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的单调性和值域，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=sin(
π
2
x-
π
6
)-2cos2
π
4
x+1，函数g（x）与函数f（x）图象关于y轴对称．
（Ⅰ）当x∈[0，2]时，求g（x）的值域及单调递减区间
（Ⅱ）若g(x0-1)=
3
3
，x0∈(-
5
3
，-
2
3
)求sinπx0值．
已知函数f（x）=
px2+2
q-3x
是奇函数，且f（2）=-
5
3
．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求证：f（
1
x
）=f（x）；
（3）判断函数f（x）在（0，1）上的单调性，并加以证明．
已知函数f(x)=
3
sin(2x-
π
6
)+2sin2(x-
π
12
)(x∈R)
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求使函数f（x）取得最大值的x集合；
（3）若θ∈(0，
π
2
)，且f(θ)=
5
3
，求cos4θ的值．
（2012•广东）已知函数f(x)=2cos(ωx+
π
6
)（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π．
（1）求ω的值；
（2）设α，β∈[0，
π
2
]，f(5α+
5
3
π)=-
6
5
，f(5β-
5
6
π)=
16
17
，求cos（α+β）的值．
（文）设函数f(x)=cos(2x+
π
3
)+
3
sin2x．
（1）求函数f（x）的最大值和及相应的x的值；
（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，f(
C
2
-
π
12
)=
3
2
，S△ABC=5
3
，a=4，求角C的大小及b边的长．

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