Question

已知函数f(x)=sin(

π

2

x-

π

6

)-2cos2

π

4

x+1，函数g（x）与函数f（x）图象关于y轴对称．
（Ⅰ）当x∈[0，2]时，求g（x）的值域及单调递减区间
（Ⅱ）若g(x0-1)=

3

3

，x0∈(-

5

3

，-

2

3

)求sinπx₀值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两角和与差的正弦及二倍角的余弦可将f（x）化简为f（x）=

3

sin（

π

2

x-

π

3

），利用又g（x）与f（x）图象关于y轴对称，可求得g（x）=-

3

sin（

π

2

x+

π

3

），从而利用正弦函数的单调性与定义域、值域可求得当x∈[0，2]时，求g（x）的值域及单调递减区间；
（Ⅱ）依题意，可求得cos（

π

2

x₀+

π

3

）=

1

3

，利用二倍角的可得cos（πx₀+

2π

3

）=-

7

9

，进一步可求得πx₀+

2π

3

∈（-π，0），sin（πx₀+

2π

3

）=-

4 2

9

，于是可求sinπx₀值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=sin（

π

2

x-

π

6

）-2cos2

π

4

+1
=sin

π

2

x•

3

2

-cos

π

2

x•

1

2

-2•

1+cos π 2 x

2

+1
=

3

2

sin

π

2

x-

3

2

cos

π

2

x
=

3

（

1

2

sin

π

2

x-

3

2

cos

π

2

x）
=

3

sin（

π

2

x-

π

3

），
又g（x）与f（x）图象关于y轴对称，
得g（x）=f（-x）=

3

sin（-

π

2

x-

π

3

）=-

3

sin（

π

2

x+

π

3

），
当x∈[0，2]时，得

π

2

x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
得sin（

π

2

x+

π

3

）∈[-

3

2

，1]，
即g（x）∈[-

3

，

3

2

]，
g（x）单调递减区间满足2kπ-

π

2

≤

π

2

x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得4k-

5

3

≤x≤4k+

1

3

，k∈Z，
取k=0，得-

5

3

≤x≤

1

3

，又x∈[0，2]，g（x）单调递减区间为[0，

1

3

]．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x₀-1）=-

3

sin[

π

2

（x₀-1）+

π

3

]
=

3

sin[

π

2

-（

π

2

x₀+

π

3

）]
=

3

cos（

π

2

x₀+

π

3

）
=

3

3

，
得cos（

π

2

x₀+

π

3

）=

1

3

，
由于cos（πx₀+

2π

3

）=2cos2(

π

2

x0+

π

3

)-1=

2

9

-1=-

7

9

，
而x₀∈（-

5

3

，-

2

3

），
∴πx₀+

2π

3

∈（-π，0），
∴sin（πx₀+

2π

3

）=-

1-cos2( π 2 x0+ π 3 )

=-

4 2

9

，
sin（πx₀）=sin[（πx₀+

2π

3

）-

2π

3

]
=sin（πx₀+

2π

3

）cos

2π

3

-cos（πx₀+

2π

3

）sin

2π

3

=-

4 2

9

（-

1

2

）-（-

7

9

）×

3

2

=

4 2 +7 3

18

．

点评：本题考查两角和与差的正弦及二倍角的余弦，考查正弦函数的单调性与最值，突出考查三角函数性质与运算的综合应用，属于难题．