题目内容

已知函数f（x）=
px2+2
q-3x
是奇函数，且f（2）=-
5
3
．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求证：f（
1
x
）=f（x）；
（3）判断函数f（x）在（0，1）上的单调性，并加以证明．
分析：（1）利用函数f（x）=
px2+2
q-3x
是奇函数，可得q=0，即f(x)=
px2+2
-3x
，根据f（2）=-
5
3
，可得p=2，从而可求函数f（x）的解析式；
（2）根据f(x)=-
2
3
(x+
1
x
)，可得f(
1
x
)=-
2
3
(x+
1
x
)，从而有f（
1
x
）=f（x）；
（3）增函数．设x1＜x2，x1，x2∈（0，1），再作差，变形，从而定号下结论．
解答：解：（1）∵函数f（x）=
px2+2
q-3x
是奇函数，∴
px2+2
q+3x
= -
px2+2
q-3x

∴q=0，∴f(x)=
px2+2
-3x

∵f（2）=-
5
3
，∴p=2
∴f(x)=-
2
3
(x+
1
x
)
（2）证明：∵f(x)=-
2
3
(x+
1
x
)
∴f(
1
x
)=-
2
3
(x+
1
x
)
∴f（
1
x
）=f（x）；
（3）增函数
设x1＜x2，x1，x2∈（0，1）
f(x1)-f(x2)=-
2
3
(x 1+
1
x 1
-x2-
1
x2
)=-
2
3
×
(x1-x2)(1-x1x2)
x1x2

∵x1＜x2，x1，x2∈（0，1）
∴f（x1）-f（x2）＜0
∴函数f（x）在（0，1）上单调增
点评：本题以函数的性质为载体，考查函数的解析式，考查函数单调性的判断与证明，注意掌握步骤：取值、作差、定号，下结论．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=
23
x3-2ax2+3x（x∈R）．
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定义：两个连续函数（图象不间断）f（x）、g（x）在区间[a，b]上都有意义，则称函数|f（x）+g（x）|在[a，b]上的最大值叫做函数f（x）与g（x）在区间[a，b]上的“绝对和”．已知函数f（x）=x3，g（x）=x3-3ax2+2．
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（Ⅲ）记f（x）与g（x）在区间[0，2]上的“绝对和”为h(a)，a＞
32
，且h（a）=2，试求a的取值范围．
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已知二阶矩阵M=（
a1
0b
）有特征值λ1=2及对应的一个特征向量
e
1=
1
1
．
（Ⅰ）求矩阵M；
（II）若
a
=
2
1
，求M10
a
．
（2）已知直线l：
x=1+
1
2
t
y=
3
2
t
（t为参数），曲线C1：
x=cosθ
y=sinθ
  （θ为参数）．
（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；
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1
2
倍，纵坐标压缩为原来的
3
2
倍，得到曲线C2C，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
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