Question

（文）设函数f(x)=cos(2x+

π

3

)+

3

sin2x．
（1）求函数f（x）的最大值和及相应的x的值；
（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，f(

C

2

-

π

12

)=

3

2

，S△ABC=5

3

，a=4，求角C的大小及b边的长．

Answer 1

分析：（1）利用两角和与差的三角函数公式，化成一角一函数形式，再利用三角函数性质求f（x）的最大值和及相应的x的值．
（2）由已知，得出sinC=

3

2

．，求出C，又S△ABC=

1

2

absinC得

1

2

•4•b•sinC=5

3

，解得b=5．

解答：解：（1）f(x)=cos(2x+

π

3

)+

3

sin2x=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+

3

sin2x═

1

2

cos2x+

3

2

sin2x
∴f(x)=sin(2x+

π

6

)…4分
f（x）的最大值为1，此时x=kπ+

π

6

(k∈Z) …2分

（2）f(

C

2

-

π

12

)=sin（C-

π

6

+ 

π

6

）=sinC=

3

2

．
从而C=

π

3

or

2

3

π
由S△ABC=

1

2

absinC得

1

2

•4•b•sinC=5

3

，解得b=5 …2分

点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，三角函数性质，正弦形式下的三角形面积公式．考查转化、计算能力．