Question

【题目】如图，四边形是矩形，，是的中点，与交于点，平面.

（Ⅰ）求证：面；

（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）要证AF与平面BEG垂直，只要证AF与平面内两条相交直线垂直，由已知GF垂直于底面ABCD，有GF垂直AF，另外可以在矩形BACD中证明BE垂直于AC（可用相似三角形证明角相等）；（Ⅱ）求直线EG与平面所成角的正弦，可用体积法求出E到平面ABG的距离d，则就是所求正弦值，而求棱锥的体积可通过来求得．

试题解析：证法1：

∵四边形为矩形，∴∽，∴

又∵矩形中，，∴

在中， ∴，

在中，

∴，即

∵平面，平面 ∴

又∵，平面 ∴平面

证法2：（坐标法）证明，得，往下同证法1．

证法3：（向量法）以为基底， ∵，

∴

∴，往下同证法1．

（2）在中，

在中，

在中，，

∴

设点到平面的距离为，则

，∴

设直线与平面所成角的大小为，则

另法：由（1）得两两垂直,以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

，，

，

设是平面的法向量，则

，即，取，得

设直线与平面所成角的大小为，则

∴直线与平面所成角的正弦值为