Question

【题目】设为坐标原点，已知椭圆的离心率为，抛物线的准线方程为．

（1）求椭圆和抛物线的方程；

（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，若在以为直径的圆的外部，求直线的斜率的取值范围．

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

试题分析：（1）抛物线的准线为，所以，抛物线方程为，根据离心率，所以椭圆的方程为；（2）设直线，联立直线的方程和椭圆的方程，消去，由于直线和椭圆有两个交点，所以判别式大于零，写出根与系数关系，“在以为直径的圆的外部”等价于，将根与系数关系代入求得的取值范围是.

试题解析：

（1）由题意得，∴，故抛物线的方程为，又，∴，∴，从而椭圆的方程为．

（2）显然直线不满足题设条件，可设直线．

由，得

∵，∴，

，

根据题意，得，∴

∴，综上得．