Question

如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PD，PC，BC的中点．

（1）求证：平面EFG⊥平面PAD；
（2）若M是线段CD上一点，求三棱锥M﹣EFG的体积．

Answer 1

（1）详见解析；（2）.

试题分析：（1）要证明面面垂直，只需在一个平面内找到另一平面的一条垂线.由已知平面平面，且，可证平面，再根据是中位线，可证，从而平面，进而再证平面平面，该题实质是先找到面的一条垂线，再将平移到面内；
（2）点是线段的动点，考虑到和到面的距离相等，故，再结合第（1）问结果，取的中点连接，据面面垂直的性质，点到的距离就是三棱锥的高，再求，进而求体积.
试题解析：（1）∵平面平面，平面平面， 平面，，平面，又中，分别是的中点，，可得平面， 平面，∴平面平面；
（2）， 平面，平面，平面，因此上的点到平面的距离等于点到平面的距离，∴，取的中点连接，则，平面， 平面，∴，于是，
∵平面平面，平面平面，是正三角形，∴点到平面的距离等于正的高，即为，因此，三棱锥M﹣EFG的体积==.