Question

如图，设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，，，的面积为.

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）设，其中，

由,得.

从而故.

从而，由得，因此.

所以，故.

因此，所求椭圆的标准方程为.

（2）如图，设圆心在轴上的圆与椭圆相交，是两个交点，，,是圆的切线，且由圆和椭圆的对称性，易知,，

由（1）知，所以，

再由得，

由椭圆方程得，即，

解得或.

当时，重合，此时题设要求的圆不存在.

当时，过分别与,垂直的直线的交点即为圆心，设

由得而故.

圆的半径.

综上，存在满足条件的圆，其方程为.