题目内容

对函数f(x)＝x·sinx，现有下列命题：

①函数f(x)是偶函数；

②函数f(x)的最小正周期是2π，

③点(π，0)是函数f(x)的图像的一个对称中心；

④函数f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．

其中是真命题的是________(把正确结论的序号都填在横线上)．

答案：①④
练习册系列答案
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已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)＝kf(x＋2)，其中常数k为负数，且f(x)在区间[0，2]有表达式f(x)＝x(x－2)．

(1)求f(－1)，f(2.5)的值(用k表示)；

(2)写出f(x)在[－3，2]上的表达式，并讨论f(x)在[－3，2]上的单调性(不要证明)；

(3)求出f(x)在[－3，2]上最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值．

已知函数f(x)＝|2x－1|＋|x＋2|＋2x(x∈R)，

(1)求函数f(x)的最小值；

(2)已知m∈R，命题p：关于x的不等式f(x)≥m2＋2m－2对任意x∈R恒成立；命题q：不等式|x－1|＋|x－m|＞1对任意x∈R恒成立．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．

对于函数f(x)，定义：若存在非零常数M，T，使函数f(x)对定义域内的任意x，都满足f(x＋T)－f(x)＝M，则称函数y＝f(x)是准周期函数，非零常数T称为函数y＝f(x)的一个准周期．如函数f(x)＝2x＋sinx是以T＝2π为一个准周期且M＝4π的准周期函数．下列命题：

①2π是函数f(x)＝sinx的一个准周期；

②f(x)＝x＋(－1)x(x∈z)是以T＝2为一个准周期且M＝2的准周期函数；

③函数f(x)＝kx＋b＋Asin(wx＋φ)(k≠0，w＞0)是准周期函数；

④如果f(x)是一个一次函数与一个周期函数的和的形式，则f(x)一定是准周期函数；

⑤如果f(x＋1)＝－f(x)则函数h(x)＝x＋f(x)是以T＝2为一个准周期且M＝4的准周期函数；其中的真命题是________．

已知函数f(x)＝ax2－2·x，g(x)＝－(a，b∈R)．

(1)当b＝0时，若f(x)在(－∞，2]上单调递减，求a的取值范围；

(2)求满足下列条件的所有整数对(a，b)：存在x0，使得f(x0)是f(x)的最大值，g(x0)是g(x)的最小值；

(3)对满足(Ⅱ)中的条件的整数对(a，b)，试构造一个定义在D＝{x|x∈R且x≠2k，K∈Z}上的函数h(x)：使h(x＋2)＝h(x)，且当x∈(－2，0)时，h(x)＝f(x)．

已知函数f(x)＝x－ln(x＋a)的最小值为0，其中a>0.

（1）求a的值；

（2）若对任意的x∈[0，＋∞)，有f(x)≤kx2成立，求实数k的最小值．]

 

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