Question

已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)＝kf(x＋2)，其中常数k为负数，且f(x)在区间[0，2]有表达式f(x)＝x(x－2)．

(1)求f(－1)，f(2.5)的值(用k表示)；

(2)写出f(x)在[－3，2]上的表达式，并讨论f(x)在[－3，2]上的单调性(不要证明)；

(3)求出f(x)在[－3，2]上最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)f(－1)＝kf(1)＝k(－1)＝－k　　2分 　　f(2.5)＝f(0.5)＝××(－)＝－　　4分 　　x∈[－2，0]时，x＋2∈[0，2] 　　∴f(x)＝kf(x＋2)＝k(x＋2)x　　6分 　　x∈[－3，－2)时　x＋2∈[－1，0) 　　∴f(x)＝kf(x＋2)＝k2(x＋4)(x＋2)　　8分 　　∴f(x)＝ 　　(2)f(x)在[－3，－1]上单调增，在[1，2]单调增在[－1，1]上单调减　　12分 　　(3)x＝－1，f(x)max＝－k　　13分 　　k＝－1，f(x)min＝－1，此时x＝1或x＝－3　　14分 　　k＜－1时，f(x)min＝－k2，此时x＝－3　　15分 　　－1＜k＜0时，f(x)min＝－1，此时x＝1　　16分