Question

已知函数f(x)＝x－ln(x＋a)的最小值为0，其中a>0.

（1）求a的值；

（2）若对任意的x∈[0，＋∞)，有f(x)≤kx²成立，求实数k的最小值．]

 

Answer 1

【答案】

（1）a＝1.（2）

【解析】

试题分析：(1)f(x)的定义域为(－a，＋∞)．

f ′(x)＝1－＝.

由f ′(x)＝0，得x＝1－a>－a.

当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x	(－a,1－a)	1－a	(1－a，＋∞)
f ′(x)	－	0	＋
f(x)	??	极小值

因此，f(x)在x＝1－a处取得最小值，

故由题意f(1－a)＝1－a＝0，所以a＝1.

(2)当k≤0时，取x＝1，有f(1)＝1－ln2>0，

故k≤0不合题意．

当k>0时，令g(x)＝f(x)－kx²，

即g(x)＝x－ln(x＋1)－kx².

g′(x)＝－2kx＝.

令g′ (x)＝0，得x₁＝0，x₂＝>－1.

①当k≥时，≤0，g′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，因此g(x)在[0，＋∞)上单调递减．从而对于任意的x∈[0，＋∞)，总有g(x)≤g(0)＝0，即f(x)≤kx²在[0，＋∞)上恒成立．

故k≥符合题意．

②当0<k<时， >0，对于x∈(0，)，g′(x)>0，故g(x)在(0，)内单调递增．因此当取x₀∈(0，)时，g(x₀)>g(0)＝0，即f(x₀)≤kx不成立．

故0<k<不合题意．

综上，k的最小值为.

考点：导数的运用

点评：主要是考查了运用导数求解函数单调性，以及函数最值的运用，属于中档题。