Question

已知函数f（x）=3^x，f（a+2）=18，g（x）=3^ax-4^x+1，
（1）求实数a的值；
（2）若ma=1，求g（m）的值；
（3）求函数g（x）在

-2

，

0

上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由已知中f（x）=3^x，f（a+2）=18，结合指数的运算性质可得3^a=2，化为对数式，可得实数a的值；
（2）若ma=1，则g（m）3-4log23+1，进而根据指数和对数的运算性质得到答案；
（3）g（x）=3^ax-4^x+1=2^x-4^x+1，令t=2^x，（x∈

-2

，

0

），则t∈[

1

4

，1]，则y=g（x）=2^x-4^x+1=-t²+t+1，进而根据二次函数的图象和性质，得到答案．

解答： 解：（1）∵f（x）=3^x，
∴f（a+2）=3^a+2=18，
∴3^a=2，
∴a=log₃2
（2）若ma=1，
则m=log₂3，
∴g（m）=3-4log23+1=3-9+1=-5，
（3）g（x）=3^ax-4^x+1=2^x-4^x+1，
令t=2^x，（x∈

-2

，

0

），则t∈[

1

4

，1]，
则y=g（x）=2^x-4^x+1=-t²+t+1的图象是开口朝下，且以直线x=

1

2

为对称轴的抛物线，
故当t=

1

2

，即x=-1时，函数g（x）取最大值

5

4

，
当t=1，即x=0时，函数g（x）取最小值1．

点评：本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，指数和对数的运算性质，换元法思想，难度中档．