Question

已知直线l经过原点，若A（0，-1）、B（8，0）关于直线l的对称点都在二次函数f（x）=ax²的图象C上，求直线l的方程与二次函数f（x）的解析式．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：先设出直线l的方程，根据A′、B′分别是A、B关于l的对称点，进而可知A′A⊥l，进而可得直线A′A的方程，把两直线方程联立求得交点M的坐标，进而根据M为AA′的中点，求得A′点的坐标和B′的坐标，分别代入抛物线方程求得方程组，最后联立求得k，进而求a，则直线和抛物线的方程可得．

解答： 解：设直线l为y=kx（k≠0）①，
设A′、B′分别是A、B关于l的对称点，因而A′A⊥l，直线A′A的方程为y=-

1

k

x-1②
由①、②联立解得AA′与l的交点M的坐标为（-

k

k2+1

，-

k2

k2+1

）；
又M为A′A的中点，则A′（-

2k

k2+1

，-

k2-1

k2+1

）；
同理B′（

16k

k2+1

，-

8(k2-1)

k2+1

）；
又A′，B′均在抛物线f（x）=ax²上得，

1-k2= 4ak2 k2+1 k=4a (1-k2)2 1+k2

；
故

1-k2

k

=

k2

(1-k2)2

；
故k²+k-1=0；
故k=

-1± 5

2

，
当k=

-1- 5

2

时，a=-

5

2

；
故y=

-1- 5

2

x，f（x）=-

5

2

x²；
当k=

-1+ 5

2

时，a=

5

2

；
故y=

-1+ 5

2

x，f（x）=

5

2

x²．

点评：本小题考查直线与抛物线的基本概念和性质，解析几何的基本思想方法以及综合运用知识解决问题的能力．