Question

12．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PD=2$\sqrt{2}$PA=AB=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：BD⊥PC；
（Ⅱ）求直线PB与平面PAC所成的角的正切值；
（Ⅲ）求点C到平面PBD的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC，即可证明BD⊥PC；
（Ⅱ）设BD∩AC=O，连接PO，则∠BPO为直线PB与平面PAC所成的角，即可求直线PB与平面PAC所成的角的正切值；
（Ⅲ）由等体积可得点C到平面PBD的距离．

解答 （Ⅰ）证明：∵底面ABCD是菱形，PD=2$\sqrt{2}$，PA=AB=2，
∴PA⊥AD，BD⊥AC
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PA⊥平面ABCD，
∵BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵BD⊥AC，PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，
∵PC?平面PAC，
∴BD⊥PC．
（Ⅱ）解：设BD∩AC=O，连接PO，则∠BPO为直线PB与平面PAC所成的角，
∵PD=2$\sqrt{2}$，PA=AB=2，∠BAD=60°
∴PB=2$\sqrt{2}$，BO=1，
∴PO=$\sqrt{7}$，
∴直线PB与平面PAC所成的角的正切值为$\frac{\sqrt{7}}{7}$；
（Ⅲ）解：设点C到平面PBD的距离为h，则
由等体积可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×2=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{7}h$
∴h=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面角，考查点到平面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．