Question

19．在△ABC中，已知tanA，tanB是关于x的方程x²+（x+1）p+1=0的两个实根．则实数p的取值集合为（　　）

• A． （-∞，2-2$\sqrt{2}$]∪[2+2$\sqrt{2}$，+∞）
• B． （-2，2-2$\sqrt{2}$）
• C． [2-2$\sqrt{2}$，2+2$\sqrt{2}$]
• D． （-1，2-2$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 由题意利用韦达定理、两角和的正切公式求得tan（A+B）的值，可得tanA∈（0，1），tanB∈（0，1），即方程x²+mx+m+1=0的两个实根均在（0，1）内，再由-p=$\frac{{x}^{2}+1}{x+1}$=（x+1）+$\frac{2}{x+1}$-2，[x∈（0，1）]，求得p的范围．

解答 解：依题意有，tanA+tanB=-p，tanAtanB=p+1，
∴tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=$\frac{-p}{1-（p+1）}$=1，
∵0＜A+B＜π，∴A+B=$\frac{π}{4}$，从而0＜A＜$\frac{π}{4}$，0＜B＜$\frac{π}{4}$，
故tanA∈（0，1），tanB∈（0，1），
即方程x²+mx+m+1=0的两个实根均在（0，1）内，
则由x²+px+p+1=0，可得-p（x+1）=x²+1，
即-p=$\frac{{x}^{2}+1}{x+1}$=$\frac{{（x+1）}^{2}-2（x+1）+2}{x+1}$=（x+1）+$\frac{2}{x+1}$-2，[x∈（0，1）]；
故所求p的范围是（-1，2-2 $\sqrt{2}$]，
故选：D．

点评 本题考查的知识点是函数的零点，韦达定理（一元二次方程根与系数关系），两角和的正切公式，其中利用韦达定理及两角和的正切公式，确定方程两个根的范围是解答的关键，属于中档题．