题目内容
10.已知函数f(x)=lnx-ax+1,a是常数,a∈R.(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点-处的切线P(1,f(1))的方程;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)证明:函数f(x)(x≠1)的图象在直线l的下方.
分析 (Ⅰ)求出函数的导函数f′(x)=$\frac{1}{x}$-a,求出切点坐标以及切线的斜率,然后求解切线方程.
(Ⅱ)求出函数f(x)的定义域为(0,+∞),以及导函数,通过(1)当a=0时,(2)当a≠0时,①当a<0时,②当a>0时,分别判断导函数的符号,推出单调区间.
(Ⅲ)构造F(x)=f(x)-(1-a)x=lnx-x+1,x>0,求出导函数,通过判断函数的单调性求出最大值小于0即可.
解答 解:(Ⅰ)函数f(x)=lnx-ax+1,可得f′(x)=$\frac{1}{x}$-a…(2分),
f(1)=-a+1,kl=f'(1)=1-a,
所以切线l的方程为y-f(1)=kl(x-1),即y=(1-a)x. …(5分)
(Ⅱ)f(x)定义域为(0,+∞)…(7分)
f′(x)=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$
(1)当a=0时,$f'(x)=\frac{1}{x}>0$,f(x)在(0,+∞)为增函数,…(9分)
(2)当a≠0时,
令$\frac{1-ax}{x}=0$得,x=0或$x=\frac{1}{a}$
①当a<0时,f(x)在(0,+∞)为增函数
②当a>0时,f(x)在$({0,\frac{1}{a}})$上是增数,在$({\frac{1}{a},+∞})$是减函数 …(11分)
(Ⅲ)令F(x)=f(x)-(1-a)x=lnx-x+1,x>0,
则$F'(x)=\frac{1}{x}-1\;=\frac{1}{x}(1-x)\;,解F'(x)=0得x=1$.…(13分)
x | (0,1) | (1,+∞) | |
F'(x) | + | 0 | - |
F(x) | ↗ | 最大值 | ↘ |
即函数y=f(x)(x≠1)的图象在直线l的下方.…(16分)
点评 本题考查函数的导数的应用,切线方程以及函数的最值的应用,考查分析问题解决问题的能力.
练习册系列答案
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