题目内容

9.一辆家庭轿车在x年的使用过程中需要如下支出:购买时花费12万元;保险费,养路费,燃油费等各种费用每年1.05万元,维修费用共0.05x2+0.15x万元;使用x年后,轿车的价值为(10.75-0.8x)万元.设这辆家庭轿车的年平均支出为y万元,则由以上条件,解答以下问题:
(1)写出y关于的函数关系式;
(2)试确定一辆家庭轿车使用多少年时年平均支出最低.并求出这个最低支出.

分析 (1)由题意知$y=\frac{{12+1.05x+(0.05{x^2}+0.15x)-(10.75-0.8x)}}{x}$,再化简即可;
(2)由(1)得 $y=0.05x+\frac{1.25}{x}+2$,从而利用基本不等式可得$0.05x+\frac{1.25}{x}+2$$≥2\sqrt{0.05x×\frac{1.25}{x}}+2=2.5$,从而解得.

解答 解:(1)由题设知,
$y=\frac{{12+1.05x+(0.05{x^2}+0.15x)-(10.75-0.8x)}}{x}$
=$\frac{{0.05{x^2}+2x+1.25}}{x}$(x>0);
(2)由(1)得  $y=0.05x+\frac{1.25}{x}+2$,
由均值不等式知:y=$0.05x+\frac{1.25}{x}+2$$≥2\sqrt{0.05x×\frac{1.25}{x}}+2=2.5$(万元),
(当且仅当$0.05x=\frac{1.25}{x}$,即x=5时取等号),
使用5年时,在这辆轿车上的年平均支出费用最低,为2.5万元.

点评 本题考查了函数与基本不等式在实际问题中的应用,注意由实际问题出发对定义域的确定,属于中档题.

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