Question

16．已知椭圆$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，其上顶点B与左焦点F所在的直线的倾斜角为$\frac{π}{3}$，O为坐标原点OBF，三角形的周长为$3+\sqrt{3}$．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设椭圆E的右顶点为A，不过点A的直线l与椭圆E相交于P、Q两点，若以PQ为直径的圆经过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点坐标．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：$\frac{b}{c}$=tan$\frac{π}{3}$，a+b+c=3+$\sqrt{3}$，又a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（2）A（2，0）．设直线l的方程为：my+t=x，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．与椭圆方程联立化为：（3m²+4）y²+6mty+3t²-12=0．以PQ为直径的圆经过点A，可得（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0，把根与系数的关系代入化简可得：t．即可得出．

解答 解：（1）由题意可得：$\frac{b}{c}$=tan$\frac{π}{3}$，a+b+c=3+$\sqrt{3}$，又a²=b²+c²，
联立解得：a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1．
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）证明：A（2，0）．
设直线l的方程为：my+t=x，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{my+t=x}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化为：（3m²+4）y²+6mty+3t²-12=0，
∴y₁+y₂=$\frac{-6mt}{3{m}^{2}+4}$，y₁•y₂=$\frac{3{t}^{2}-12}{3{m}^{2}+4}$，（*）
∵以PQ为直径的圆经过点A，∴$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{AQ}$，
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=0，∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0，
即（my₁+t-2）（my₂+t-2）+y₁y₂=0，化为：（m²+1）y₁y₂+（mt-2m）（y₁+y₂）+（t-2）²=0，
把（*）代入可得：（m²+1）•$\frac{3{t}^{2}-12}{3{m}^{2}+4}$+（mt-2m）•$\frac{-6mt}{3{m}^{2}+4}$+（t-2）²=0，
化简可得：t=2或$\frac{2}{7}$．
t=2舍去．
代入直线l的方程：my+t=x，可得：my+$\frac{2}{7}$=x．
可得直线l经过定点：$（\frac{2}{7}，0）$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、圆的性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．