Question

19．已知点A（1，0），若点B是曲线y=f（x）上的点，且线段AB的中点在曲线y=g（x）上，则称点B是函数y=f（x）关于函数g（x）的一个“关联点”，已知f（x）=|log₂x|，g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x，则函数f（x）关于函数g（x）的“关联点”的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 设B的坐标，求出A，B的中点坐标C，利用C在g（x）上，建立方程关系，转化为两个函数的交点个数问题 进行求解即可．

解答 解：令点B（x，|log₂x|），x＞0，
A，B的中点C（$\frac{1+x}{2}$，$\frac{1}{2}$|log₂x|）．
由于点C在函数g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x的图象上，
故有$\frac{1}{2}$|log₂x|=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\frac{1+x}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）^x，
即|log₂x|=$\sqrt{2}$•（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）^x，
故函数f（x）关于函数g（x）的“关联点”的个数是，
即为函数y=|log₂x|和曲线y=$\sqrt{2}$•（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）^x的交点的个数．
在同一个坐标系中，画出函数y=|log₂x|和y=$\sqrt{2}$•（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）^x的$\frac{4}{1+x}$的图象，
由图象知两个函数的交点个数为2个，
则函数f（x）关于函数g（x）的“关联点”的个数是2，
故故选：B．

点评 本题主要考查新定义，关联点的个数的求法，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．