Question

8．定义一种新运算：a?b=$\left\{\begin{array}{l}{b，a≥b}\\{a，a＜b}\end{array}\right.$，已知函数f（x）=（1+$\frac{4}{x}$）?log₂x，若函数g（x）=f（x）-k恰有两个零点，则k的取值范围为（　　）

• A． （1，2）
• B． （1，4）
• C． （2，4）
• D． （4，8）

Answer 1

分析 根据新运算的定义求出函数f（x）的解析式，利用函数与方程之间的关系转化为两个图象的交点问题，利用数形结合进行求解即可．

解答 解设y=1+$\frac{4}{x}$，y=log₂x，
则y=1+$\frac{4}{x}$在（0，+∞）上为减函数，y=log₂x在（0，+∞）上为增函数，
当x=4时，y=1+$\frac{4}{x}$=1+$\frac{4}{4}$=1+1=2，y=log₂4=2，此时两个函数值相等，
当0＜x≤4时，log₂x≤1+$\frac{4}{x}$，此时f（x）=log₂x∈（-∞，2]，
当x＞4时，log₂x＞1+$\frac{4}{x}$，此时f（x）=1+$\frac{4}{x}$∈（1，2），
即f（x）=（1+$\frac{4}{x}$）?log₂x=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，}&{0＜x≤4}\\{1+\frac{4}{x}，}&{x＞4}\end{array}\right.$．
若函数g（x）=f（x）-k恰有两个零点，
则g（x）=f（x）-k=0，即f（x）=k，恰有两个根，
作出函数f（x）与y=k的图象，
由图象知若两个图象有两个不同的交点，
则1＜k＜2，
故实数k的取值范围是（1，2），
故选：A．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据条件求出函数f（x）的解析式，以及利用函数与方程的关系转化为两个函数图象的交点问题，借助数形结合是解决本题的关键．综合性考查函数的性质．