Question

用二项式定理证明：
（1）3²ⁿ⁺²-8n-9能被64整除（n∈N）；
（2）2ⁿ＞n²（n≥5）．

Answer 1

考点：二项式定理的应用

专题：二项式定理

分析：（1）3²ⁿ⁺²=9ⁿ⁺¹=（8+1）ⁿ⁺¹展开式中按照8的降幂排列，前边的项均能被64整除，最后两项为C_n+1¹8+1=8n+9，与原式中的-8n-9抵消，分析可得答案．
（2）由于n-2≥3，由二项式定理可得2^n-2＞（n-1）+

(n-2)(n-3)

2

，从而得到2ⁿ-n²=4•2^n-2-n²＞4[（n-1）+

(n-2)(n-3)

2

]-n²=（n-3）²-1．根据函数f（n）=（n-3）²-1在（3，+∞）上单调递增，可得当n≥5时，f（n）≥f（5）=3＞0，从而证得结论．

解答： 解：（1）证明：3²ⁿ⁺²-8n-9=9ⁿ⁺¹-8n-9=（8+1）ⁿ⁺¹-8n-9
=8ⁿ⁺¹+C_n+1¹•8ⁿ++C_n+1ⁿ•8+1-8n-9=8ⁿ⁺¹+C_n+1¹•8ⁿ++C_n+1^n-1•8² =8²（8^n-1+C_n+1¹•8^n-2++C_n+1^n-1），
∵8^n-1+C_n+1¹•8^n-2++C_n+1^n-1是整数，∴3²ⁿ⁺²-8n-9能被64整除．
（2）证明：∵n≥5，∴n-2≥3，
由二项式定理可得2^n-2=（1+1）^n-2=1+（n-2）+

(n-2)(n-3)

2

+…+

C

n-2 n-2

＞（n-1）+

(n-2)(n-3)

2

．
∵2ⁿ-n²=4•2^n-2-n²＞4[（n-1）+

(n-2)(n-3)

2

]-n²=n²-6n+8=（n-3）²-1．
由于函数f（n）=（n-3）²-1在（3，+∞）上单调递增，∴当n≥5时，f（n）≥f（5）=3＞0，
∴n≥5时，2ⁿ＞n²．

点评：本题考查二项式定理的应用：处理整除问题，利用函数的单调性证明不等式，体现了转化的数学思想，属于基础题．