Question

已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点．
（1）证明：PF⊥FD；
（2）在线段PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD，若存在，确定点G的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面平行的性质,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）利用线面垂直的判定定理，先证明DF⊥平面PAF，即可得出结论；
（2）过点E作EH∥FD，交AD于点H，则EH∥平面PFD，且AH=

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4

AD，再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG=

1

4

AP，从而平面GEH∥平面PFD，即可得出结论．

解答： （1）证明：连接AF，则AF=

2

，DF=

2

，
∵AD=2，
∴AF²+DF²=AD²
∴AF⊥DF，
∵PA丄平面ABCD，
∴PA⊥DF，
∵PA∩AF=A
∴DF⊥平面PAF，
∵PF?平面PAF，
∴PF⊥FD．
（2）解：过点E作EH∥FD，交AD于点H，则EH∥平面PFD，且AH=

1

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AD．
再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG=

1

4

AP，
∴平面GEH∥平面PFD．
∵EG?平面GEH，
∴EG∥平面PFD．
从而满足AG=

1

4

AP的点G为所求．

点评：本题考查线面垂直，线面平行，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面垂直，线面平行的判定定理是关键．