题目内容

17．已知曲线y=aln（x+1）-e-x+b（a，b∈R）在点（0，3）处的切线与直线x+3y-2=0垂直，则a的值为2．（注：（ln（x+1））′=$\frac{1}{x+1}$）

分析 求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得a+1=3，解得a=2．

解答 解：y=aln（x+1）-e-x+b的导数为y′=$\frac{a}{x+1}$+e-x，
则曲线在点（0，3）处的切线斜率为a+1，
由切线与直线x+3y-2=0垂直，
可得-$\frac{1}{3}$（a+1）=-1，
解得a=2，
故答案为：2．

点评 本题考查导数的几何意义：求切线的斜率，同时考查两直线垂直的条件，正确求导是解题的关键．

练习册系列答案
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（1）求椭圆E的方程；
（2）已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上点N（x0，y0）处切线方程为$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{{b}^{2}}$=1，若P是直线x=2上任意一点，从P向椭圆E作切线，切点分别为C、D，求证直线CD恒过定点，并求出该定点坐标．
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