Question

（12分）已知函数（是不为零的实数，为自然对数的底数）.

（1）若曲线与有公共点，且在它们的某一公共点处有共同的切线，求的值；

（2）若函数在区间内单调递减，求此时的取值范围.

 

Answer 1

（1）（2）当时，函数在区间内单调递减.

【解析】

试题分析：（1）利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程，注意这个点的切点的位置. （2）第二问关键是利用函数的单调性与导数的关系把所求问题转化为求函数的其它问题.（3）若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到.

试题解析：（1）设曲线与有共同切线的公共点为，则．

又曲线与在点处有共同切线，且，，

∴，

解得 ．

（2）由得函数，

所以

．

又由区间知，，解得，或．

①当时，由，得，即函数的单调减区间为，要使得函数在区间内单调递减，则有

解得

②当时，由，得，或，即函数的单调减区间为和，

要使得函数在区间内单调递减，则有

，或，

这两个不等式组均无解.

综上，当时，函数在区间内单调递减.

考点：（1）求切线方程；（2）根据函数的单调性求参量的问题.