Question

已知单调递增的等比数列{a_n}满足a₂+a₄=20，a₃=8．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=a_n•log 

1

2

a_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整数n的最小值．

Answer 1

考点：等比数列的性质,数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，利用单调递增的等比数列{a_n}满足a₂+a₄=20，a₃=8，建立方程，求出首项与公比，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）确定数列的通项，利用错位相减求和，结合S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立，即可求出正整数n的最小值．

解答： 解：（I）设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，
依题意，有

a1q+a1q3=20 a1q2=8.

，解之得

a1=2 q=2

或

a1=32 q= 1 2

又数列{a_n}单调递增，∴

a1=2 q=2

，∴a_n=2ⁿ．…（6分）
（Ⅱ）依题意，b_n=a_n•log 

1

2

a_n=-n•2ⁿ，
∴-S_n=1•2+2•2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，①，-2S_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹②
由①-②得：S_n=2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹…（8分）
=2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺¹-2…（10分）
∵S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50
∴（1-n）•2ⁿ⁺¹-2+n•2ⁿ⁺¹＞50
∴2ⁿ⁺¹＞52
∴最小正整数n的值为5．

点评：本题主要考查了等比数列的求和公式及通项公式的应用，错位相减求和方法的应用，及指数不等式的求解．