Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率

1

2

，其左焦点到点P（2，1）的距离为

10

，过左焦点作直线OP的垂线l交椭圆C于A，B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求△ABP的面积．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质,椭圆的标准方程

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）运用两点的距离公式，求得c=1，再由离心率公式，可得a，由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；
（2）设出直线l的方程，联立椭圆方程，消去y，运用韦达定理和弦长公式，及点到直线的距离公式，即可得到面积．

解答： 解：（1）左焦点（-c，0）到点P（2，1）的距离为

10

，
则

(c+2)2+1

=

10

，解得，c=1．
由于椭圆的离心率

1

2

，即

c

a

=

1

2

，即有a=2，b=

a2-c2

=

3

，
则椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由于左焦点为（-1，0），直线OP的斜率为

1

2

，
则垂线l的斜率为-2，
垂线l的方程为y=-2x-2，
P到l的距离d=

|2×2+1+2|

1+4

=

7

5

，
将l的方程代入椭圆方程，得19x²+32x+4=0，
则有x₁+x₂=-

32

19

，x₁x₂=

4

19

，
则|AB|=

1+4

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

•

( 32 19 )2- 16 19

=

60

19

．
则△ABP的面积为

1

2

d•|AB|=

1

2

×

7

5

×

60

19

=

42 5

19

．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数，运用韦达定理和弦长公式，考查点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．