Question

4．如图，PA⊥平面ABC，PA=$\sqrt{2}$，AB=1，BC=$\sqrt{3}$，AC=2．
（1）求证：BC⊥平面PAB；
（2）求二面角B-PA-C的大小．

Answer 1

分析 （1）推导出PA⊥BC，AB⊥BC，由此能证明BC⊥平面PAB．
（2）由PA⊥平面ABC，得∠BAC为二面角BPAC的平面角．由此能求出二面角BPAC的大小．

解答 证明：（1）∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC．
在△ABC中，AB=1，BC=3，AC=2，
∴AB²+BC²=AC²．∴AB⊥BC．
又PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB．
解：（2）∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AB，PA⊥AC．
∴∠BAC为二面角BPAC的平面角．
∵sin∠BAC=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠BAC=60°，即二面角BPAC的大小为60°．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．