Question

13．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，面ABB₁A为矩形，$AB=BC=1，A{A_1}=\sqrt{2}$，D为AA₁的中点，BD与AB₁交于点O，BC⊥AB₁．
（1）证明：CD⊥AB₁；
（2）若$OC=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，求二面角A-BC-B₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出DB⊥AB₁，BC⊥AB₁，从而AB₁⊥平面BDC，由此能证明CD⊥AB₁．
（2）以O为坐标原点OA、OD、OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BC-B₁的余弦值．

解答 证明：（1）∵△AB₁B与△DBA相似，∴DB⊥AB₁，
又BC⊥AB₁，BD∩BC=B，
∴AB₁⊥平面BDC，
∵CD?平面BDC，∴CD⊥AB₁．…（5分）
解：（2）∵$OC=\frac{{\sqrt{3}}}{3}，BC=1$，∴在△ABD中$OB=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴△BOC是直角三角形，且BO⊥CO．
由（1）知CO⊥AB₁，则CO⊥平面ABB₁A₁，
以O为坐标原点OA、OD、OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则$A（\frac{{\sqrt{3}}}{3}，0，0），B（0，-\frac{{\sqrt{6}}}{3}，0），C（0，0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}），{B_1}（-\frac{2}{3}\sqrt{3}，0，0）$，
$\overrightarrow{BC}$=（0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），$\overrightarrow{AB}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，0），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$，0），
设平面ABC，平面BCB₁的法向量分别为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{n}=\frac{\sqrt{6}}{3}y+\frac{\sqrt{3}}{3}z=0}\\{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{n}=-\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{\sqrt{6}}{3}y=0}\end{array}\right.$，∴取x=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}，-1，\sqrt{2}$），
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{m}=\frac{\sqrt{6}}{3}b+\frac{\sqrt{3}}{3}c=0}\\{\overrightarrow{B{B}_{1}}•\overrightarrow{m}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}a+\frac{\sqrt{6}}{3}b=0}\end{array}\right.$，∴取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{2}$，-2），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=-$\frac{2\sqrt{70}}{35}$，
又如图所示A-BC-B₁为钝二面角
∴二面角A-BC-B₁的余弦值为$-\frac{{2\sqrt{70}}}{35}$．…（12分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．