Question

6．6名教师被随机地平均分配到甲、乙、丙三个不同学校进行调研，且学校甲至少有一名男教师的概率是$\frac{3}{5}$．
（Ⅰ）求6名教师中男、女教师各几人；
（Ⅱ）求学校乙恰好男、女教师各一人的概率；
（Ⅲ）设随机变量ζ表示在学校丙的男教师的人数，求ζ的分布列及期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用对立事件的概率公式，列方程求出男、女教师的人数；
（Ⅱ）计算学校乙恰好男、女教师各1人的概率值；
（Ⅲ）由题意知ζ的所有可能值，计算对应的概率，写出ξ的分布列，计算数学期望值．

解答 解：（Ⅰ）记至少有一名男教师被分到学校甲为事件A，则A的对立事件为“没有男教师分到学校甲”，
设有男教师x人，则1≤x≤6，那么P（A）=1-$\frac{{C}_{6-x}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，
解得x=2，即男教师2人，女教师4人；
（Ⅱ）记学校乙恰好男、女教师各1人为事件E，
那么P（E）=$\frac{{C}_{2}^{1}{•C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，
所以学校乙恰好男、女教师各一人的概率为$\frac{8}{15}$；
（Ⅲ）设随机变量ζ表示在学校丙的男教师的人数，
则ζ的所有可能取值为0，1，2；
且P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{2}{5}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{•C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，
P（ξ=2）=$\frac{1}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$；
所以ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	$\frac{2}{5}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{1}{15}$

数学期望为E（ξ）=0×$\frac{2}{5}$+1×$\frac{8}{15}$+2×$\frac{1}{15}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了古典概型的概率以及离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题，是中档题．