Question

13．某考生从6道预选题一次性随机的抽取3道题作答，其中4道填空题，2道解答题．
（1）求该考生至少抽到1道解答题的概率；
（2）若所取的3道题中有2道填空题，1道解答题．已知该生答对每道填空题的概率均为$\frac{2}{3}$，答对每道解答题的概率均为$\frac{1}{2}$，且各题答对与否相互独立．用X表示该考生答对题的个数，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）记该考生至少抽到1道解答题为事件A，利用对立事件能求出该考生至少抽到1道解答题的概率．
（2）X所有的可能取值为0，1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 （本小题满分10分）
解 （1）记该考生至少抽到1道解答题为事件A，
则P（A）=1-P（$\overline{A}$）=1-$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{4}{5}$．…（4分）
（2）X所有的可能取值为0，1，2，3．
P（X=0）=（1-$\frac{2}{3}$）²•（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{18}$，
P（X=1）=${C}_{2}^{1}•\frac{2}{3}•（1-\frac{2}{3}）•（1-\frac{1}{2}）+（1-\frac{2}{3}）^{2}•\frac{1}{2}$=$\frac{5}{18}$，
P（X=2）=${C}_{2}^{1}•\frac{2}{3}•（1-\frac{2}{3}）•\frac{1}{2}+（\frac{2}{3}）^{2}•（1-\frac{1}{2}）$=$\frac{4}{9}$，
P（X=3）=（$\frac{2}{3}$）²$•\frac{1}{2}$=$\frac{2}{9}$．
所以X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{18}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{2}{9}$

…（8分）
所以E（X）=$0×\frac{1}{18}+1×\frac{5}{18}+2×\frac{4}{9}+3×\frac{2}{9}$=$\frac{33}{18}$．…（10分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．