Question

13．有下面四个命题：
①函数f（x）=$\frac{1}{x}$单调递减区间是（-∞，0）∪（0，+∞）；
②函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{4}{7}x+\frac{7}{4}}&{x≤0}\\{-{x^2}+x+2}&{x＞0}\end{array}}$的最大值是$\frac{9}{4}$；
③若函数ax²+ax+2＞0恒成立，则实数a的取值范围是0＜a＜8；
④设数集M=$\{x|m≤x≤m+\frac{3}{4}\}，N=\{x|n-\frac{1}{3}≤x≤n\}$，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b-a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么M∩N的“长度”最小值是$\frac{1}{12}$．其中正确命题的序号是②④（写出你认为正确命题的所有序号）

Answer 1

分析 根据反比例函数的单调性，可判断①；求出函数的最大值，可判断②；求出满足条件的实数a的取值范围，可判断③；求出M∩N的“长度”最小值，可判断④．

解答 解：①函数f（x）=$\frac{1}{x}$单调递减区间是（-∞，0）和（0，+∞），故错误；
②当x≤0时，函数f（x）=$\frac{4}{7}x+\frac{7}{4}$≤$\frac{7}{4}$，
当x＞0时，函数f（x）=-x²+x+2≤$\frac{9}{4}$，
故函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{4}{7}x+\frac{7}{4}}&{x≤0}\\{-{x^2}+x+2}&{x＞0}\end{array}}$的最大值是$\frac{9}{4}$，正确；
③若函数ax²+ax+2＞0恒成立，则a=0，或$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\{a}^{2}-8a＜0\end{array}\right.$，
解得：实数a的取值范围是0≤a＜8，错误；
④设数集M=$\{x|m≤x≤m+\frac{3}{4}\}，N=\{x|n-\frac{1}{3}≤x≤n\}$，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，
则m∈[0，$\frac{1}{4}$]，n∈[$\frac{1}{3}$，1]
如果把b-a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，
那么$\left\{\begin{array}{l}m=0\\ n=1\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}m=\frac{1}{4}\\ n=\frac{1}{3}\end{array}\right.$时M∩N的“长度”最小值是$\frac{1}{12}$，正确．
故答案为：②④

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数恒成立问题，单调性，最值，区间长度，难度中档．