Question

10．已知$0＜x＜\frac{π}{2}，f（x）=\frac{1}{sinx}+\frac{sinx+9}{1-sinx}$的最小值为2$\sqrt{10}$+10．

Answer 1

分析 化简函数f（x）=$\frac{1}{sinx}$+$\frac{sinx+9}{1-sinx}$=…=$\frac{1-sinx}{sinx}$+$\frac{10sinx}{1-sinx}$+10，利用基本不等式求出f（x）的最小值．

解答 解：当0＜x＜$\frac{π}{2}$时，0＜sinx＜1；
所以f（x）=$\frac{1}{sinx}$+$\frac{sinx+9}{1-sinx}$
=$\frac{1}{sinx}$+$\frac{sinx-1+10}{1-sinx}$
=$\frac{1}{sinx}$+$\frac{10}{1-sinx}$-1
=（$\frac{1}{sinx}$+$\frac{10}{1-sinx}$）（1-sinx+sinx）-1
=$\frac{1-sinx+sinx}{sinx}$+$\frac{10（1-sinx+sinx）}{1-sinx}$-1
=$\frac{1-sinx}{sinx}$+$\frac{10sinx}{1-sinx}$+10
≥2$\sqrt{\frac{（1-sinx）•10sinx}{sinx（1-sinx）}}$+10
=2$\sqrt{10}$+10，
当且仅当$\frac{1-sinx}{sinx}$=$\frac{10sinx}{1-sinx}$，
即sinx=$\frac{\sqrt{11}}{11}$时取“=”；
所以函数f（x）的最小值为2$\sqrt{10}$+10．
故答案为：2$\sqrt{10}$+10．

点评 本题考查了三角函数的化简与基本不等式的应用问题，是综合性题目．