Question

2．如图，圆锥的横截面为等边三角形SAB，O为底面圆圆心，Q为底面圆周上一点．
（Ⅰ）如果BQ的中点为C，OH⊥SC，求证：OH⊥平面SBQ；
（Ⅱ）如果∠AOQ=60°，QB=2$\sqrt{3}$，设二面角A-SB-Q的大小为θ，求cosθ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结OC、AQ，推导出OC∥AQ，OC⊥BQ，SO⊥BQ，从而QB⊥平面SOC，进而OH⊥BQ，由此能证明OH⊥平面SBQ．
（Ⅱ）以O为原点，OA为x轴，在平面ABC内过O作AB的垂线为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出cosθ．

解答 证明：（Ⅰ）连结OC、AQ，
∵O为AB的中点，BQ的中点为C，
∴OC∥AQ，
∵AB为圆的直径，∠AQB=90°，∴OC⊥BQ，
∵SO⊥平面ABQ，SO⊥BQ，QB⊥平面SOC，
OH⊥BQ，
∴OH⊥平面SBQ．
解：（Ⅱ）由已知得QC=$\sqrt{3}$，OQ=2，OC=1，SO=2$\sqrt{3}$，
以O为原点，OA为x轴，在平面ABC内过O作AB的垂线为y轴，
OS为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），B（-2，0，0），S（0，0，2$\sqrt{3}$），Q（1，$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{BS}$=（2，0，2$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BQ}$=（3，$\sqrt{3}$，0），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BS}=2x+2\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BQ}=3x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}$，3，1），
而平面SAB的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
∴cosθ=$\frac{3}{\sqrt{13}}$=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．