Question

若函数f（x）在x∈[a，b]时，函数值y的取值区间恰为[

1

b

，

1

a

]，就称区间[a，b]为f（x）的一个“倒域区间”．定义在[-2，2]上的奇函数g（x），当x∈[0，2]时，g（x）=-x²+2x．
（1）求g（x）的解析式；
（2）求函数g（x）在[1，2]内的“倒域区间”；
（3）若函数g（x）在定义域内所有“倒域区间”上的图象作为函数y=h（x）的图象，是否存在实数m，使集合{（x，y）|y=h（x）}∩{（x，y）|y=x²+m}恰含有2个元素．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）运用奇偶性得出g（x）=

-x2+2x，x∈[0，2] x2+2x，x∈[-2，0)

；（2）得出方程组问题

1 b =g(b)=-b2+2b 1 a =g(a)=-a2+2a

；
（3）

a＜b 1 b ＜ 1 a

，利用方程思想求解h（x）=

-x2+2x，x∈[1， 1+ 5 2 ] x2+2x，x∈[- 1+ 5 2 ，-1]

m应当使方程x²+m=-x²+2x，在[1，

1+ 5

2

]内恰有一个实数根，并且使方程x²+m=x²+2x，在[

-1- 5

2

，-1]内恰有一个实数．

解答： 解：（1）当x∈[-2，0）时，
g（x）=-g（-x）=-[-（-x）²+2（-x）]=x²+2x
g（x）=

-x2+2x，x∈[0，2] x2+2x，x∈[-2，0)

（2）设1≤a＜b≤2，
∵g（x）在x∈[1，2]上递减，
∴

1 b =g(b)=-b2+2b 1 a =g(a)=-a2+2a

整理得

(a-1)(a2-a-1)=0 (b-1)(b2-b-1)=0

，
解得

a=1 b= 1+ 5 2

．
∴g（x）在[1，2]内的“倒域区间”为[1，

1+ 5

2

]．
（3）∵g（x）在x∈[a，b]时，函数值y的取值区间恰为[

1

b

，

1

a

]，其中a≠b，a、b≠0，
∴

a＜b 1 b ＜ 1 a

，
∴a、b同号．只考虑0＜a＜b≤2或-2≤a＜b＜0
当0＜a＜b≤2时，根据g（x）的图象知，g（x）最大值为1，

1

a

≤1，a∈[1，2），
∴1≤a＜b≤2，
由（Ⅱ）知g（x）在[1，2]内的“倒域区间”为[1，

1+ 5

2

]；
当-2≤a＜b＜0时间，g（x）最小值为-1，

1

b

≥-1，b∈（-2，-1]，
∴-2≤a＜b≤-1，
同理知g（x）在[-2，-1]内的“倒域区间”为[

-1- 5

2

，-1]．
h（x）=

-x2+2x，x∈[1， 1+ 5 2 ] x2+2x，x∈[- 1+ 5 2 ，-1]

依题意：抛物线与函数h（x）的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限．
因此，m应当使方程x²+m=-x²+2x，
在[1，

1+ 5

2

]内恰有一个实数根，并且使方程x²+m=x²+2x，在[

-1- 5

2

，-1]内恰有一个实数
由方程2x-2x²=m在[1，

1+ 5

2

]内恰有一根知-2≤m≤0；
由方程x²+m=x²+2x在[

-1- 5

2

，-1]内恰有一根知-1-

5

≤m≤-2，
综上：m=-2．

点评：本题考查了函数的性质，运用求解数学问题，考查了分类思想，方程的运用，难度大，属于难题．