Question

已知定点定直线，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍．设点P的轨迹为E过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N.

(1)求E的方程；

(2)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.

Answer 1

解：(1)设则 化简得

(2)①当直线BC与x轴不垂直时，

设BC的方程为与双曲线联立消去y得

，由题意知且

设则，

因为 所以直线AB的方程为

因此M点的坐标为

同理可得

因此

②当直线BC与x轴垂直时，方程为 则

AB的方程为 因此M点的坐标为

同理可得 因此

综上 即

故以线段MN为直径的圆经过点．